Meer over isogonale verwantschap

Overzicht  ][  Isogonale verwantschap |  Meetkunde

Zie ook de pagina "Isogonale verwantschap, ..."

Overzicht terug

  1. Inleiding
  2. Eigenschappen
         oa. bewijs van de Stelling van Feuerbach met behulp van een cirkelbundel
  3. Antivoetpuntsdriehoek cabrisignal

1. Inleiding terug
Enkele van onderstaande eigenschappen is reeds vermeld op de pagina "Isogonale verwantschap, ...". De bewijzen van de stellingen op deze pagina zijn echter meer met elkaar in overeenstemming gebracht.
We beginnen met (Stelling 2 van de pagina "Isogonale verwantschap,..."):

Stelling 1
Zijn l en m isogonaal verwant tov. hoek S(p,q), en zijn P en Q punten op opvolgend l en m, dan is het product van de beide afstanden tot p gelijk aan het product van de beide afstanden tot q.

We hebben nu ook:

Stelling 2
De vier projecties op de benen van een hoek van twee punten gelegen op twee isogonalen van die hoek zijn concyclisch.

Bewijs:

isogon2_1 We hebben in nevenstaande figuur twee paar gelijkvormige rechthoekige driehoeken:
SQF, SPD en SQG, SPE
Hieruit vinden we:
SF : SD = SQ : SP = SG : SE
Of
SE · SF = SD · SG
Waaruit het gestelde volgt (macht van S tov. de omcirkel van DEFG). ¨
Gevolg (van Stelling) 2
Het middelpunt van de cirkel is het midden van PQ.

Bewijs:
Het middelpunt van de cirkel ligt op de middelloodlijn van DG en op de middelloodlijn van EF. Deze lijnen gaan beide door het midden van PQ (middenparallel in het trapezium PDGQ en in het trapezium PEFQ). ¨

Stelling 3
De zes projecties van twee isogonaal geconjugeerde punten tov. een driehoek op de zijden van die driehoek zijn concyclisch.
Het middelpunt van de cirkel ligt midden tussen beide isogonale punten.

Bewijs:

isogon2_2 Volgens Stelling 2 (en het Gevolg van Stelling 2) hebben we drie koordenvierhoeken:
FNME, FNDL en DLME
Het middelpunt van de omcirkel van elk van deze vierhoeken is telkens het punt R.
Uit RF = RD = RM volgt dat deze drie cirkels samenvallen. ¨
.
Gevolg (van Stelling) 3
Als P = H en Q = O, dan is R het middelpunt van de negenpuntcirkel.

2. Eigenschappen terug

Stelling 4
Twee isogonale punten tov. een driehoek zijn de middelpunten van de cirkels door de spiegelbeelden van het bijbehorende isogonale punt in de zijden van die driehoek.

Bewijs:

isogon2_3 D,E,F zijn de projecties van P op de zijden; D', E', F' zijn de gespeigeleden van P in de zijden.
DEF en D'E'F' zijn gelijkstandige driehoeken, met centrum P; de factor is gelijk aan 2 (cq. ½).
R is het middelpunt van de omcirkel van DEF; Q is het middelpunt van de omcirkel van D'E'F'.
Nu geldt PR : PQ = 1 : 2, dus
Q ligt symmetrisch met P tov. R.
Q is dus het isogonaalbeeld van P. ¨

We bewijzen nu eerst een Hulpstelling over cirkelbundels.

Hulpstelling 5
[1] Als een cirkel behoort tot een bundel bepaald door twee cirkels, dan is de verhouding van de machten van een punt van de eerste cirkel tov. die beide cirkels constant.
En omgekeerd:
[2] De meetkundige plaats van de punten waarvan de verhouding van de machten tot twee gegeven cirkels constant is (met teken en in grootte) is een cirkel die behoort tot de bundel met de gegeven cirkels als basiscirkels.

Bewijs:

isogon2_5 We bewijzen eerst (zie de figuur hiernaast) voor een punt P van een cirkel (B, b), dat
   m(P, A) = 2NP · AB
waarbij N het voetpunt is van de loodlijn uit P op de machtlijn van beide cirkels.
Zij a de straal van cikel A.
Nu is m(O,A) = m(O, B) = OA2 - a2 = OB2 - b2, zodat

   OA2 - OB2 = a2 - b2

Nu is (met M het voetpunt van de loodlijn uit P op de centraal):

 isogon2f1

isogon2_5b [1]
Zijn nu A en B twee cirkels die dienen als basiscirkels voor een cirkelbundel. Zij S een cirkel uit deze bundel en P een punt op die cirkel.
Dan is (volgens het bovenstaande):
   m(P,A) = 2NP · AS en m(P,B) = 2NP · BS
Zodat:
   m(P,A) : m(P,B) = AS : BS
en dit geldt duidelijk voor elk punt P van cirkel S.
[2]
Zij P een punt van de meetkundige plaats. Dan is het punt S eenduidig bepaald door bovenstaande verhouding.
Is een van beide machten negatief, dan ligt het punt S op het lijnstuk AB. ¨
.
Stelling 6
Als twee isogonale punten (bij een driehoek) collineair zijn met het omcentrum van die driehoek, dan raakt hun voetpuntscirkel aan de negenpuntcirkel.

Bewijs:

isogon2_4 Als X, Y de eindpunten zijn van een middellijn van de omcirkel van ABC dan staan de Simson-lijnen x en y van X en Y loodlrecht op elkaar en ligt hun snijpunt L op de negenpuntcirkel.
De projecties X', Y' van X, Y op BC liggen op x en y, en zijn symmetrisch tov. het midden A' van BC.
Dus: de cirkel met middellijn X'Y' gaat door L.

Zijn nu P en P' twee willekeurige punten van XY. en zijn D, D' hun projecties op BC. Met R als straal van de omcirkel hebben we dan:
   A'D : A'X' = OP : R en A'D' : A'X' = OP' : R
Vermenigvuldiging van deze twee uitdrukkingen geeft nu:
   A'D · A'D' / (A'X')2 = OP · OP' / R2
En omdat L op de cirkel met middellijn X'Y', ligt hebben we daardoor (A'X' = A'L):
   A'D · A'D' / (A'L)2 = OP · OP' / R2
Het rechterlid hiervan is onafhankelijk van de zijde BC en van de ligging van het punt L.
We kunnen dus ook voor de projecties van P en P' op AC en op AB (E, E', F, F' met middens B' en C') schijven:
   A'D · A'D' / (A'L)2  = B'E · B'E' / (B'L)2 = C'F · C'F' / (C'L)2 ......(eig)
isogon2_4b Stel nu, dat P en P' isogonaal geconjugeerden zijn tov. ABC.
Volgens Stelling 3 liggen dan de zes projecties D, D', ... op een cirkel met middelpunt S (midden van PP'; ook liggend op XY).
De producten A'D . A'D', ... zijn nu de machten van A', B', C' tov. de cirkel S.
De uitdrukkingen (A'L)2, ... zijn de "machten" van A', B', C' tov. de puntcirkel L.
Volgens Hulpstelling 5.2 en (eig) behoort nu de cirkel N tot de cirkelbundel bepaald door de cirkels S en L (immers A' ligt op cirkel N).
Dus het punt N ligt op LS (de centraal van de bundel).
Omdat L op de negenpuntscirkel N ligt, is de machtlijn van de bundel de raaklijn in L aan cirkel N.
Cirkel S gaat dan ook door L en raakt dus in L aan cirkel N. ¨
.
Gevolg (van Stelling) 6 - Stelling van Feuerbach
De incirkel en de uitcirkels van een driehoek raken aan de negenpuntcirkel.

Bewijs:

isogon2_6 I zij het incentrum van driehoek ABC.
Valt P samen met I (of met de uitcentra Ia, Ib of Ic), dan valt P' ook samen met I (of met de uitcentra). De punten D, D', ... vallen dus ook samen.
Cirkel S is dan de incirkel van de driehoek en deze raakt dus aan de negenpuntcirkel (analoog voor de uitcirkels van ABC). ¨

Gevolg
Het Feuerbach-punt (het raakpunt van negenpuntcirkel en incirkel) kan geconstrueerd worden met behulp van de Simson-lijnen x en y van de eindpunten X en Y van middellijn van de omcirkel die door I gaat (analoog voor de Feuerbach-punten die horen bij de uitcirkels).
Een en ander volgt direct uit het bewijs van Stelling 6.

Zie voor het Feuerbach-punt ook de pagina "Oppervlakte van voetpuntsdriehoeken".

[einde Gevolg]

Opmerking
De Stelling van Feuerbach is ook bewezen op de volgende pagina's:
- De Stelling van Feuerbach
- Complexe bewijzen (5)
- Inversie en de Stelling van Feuerbach
[einde Opmerking]

3. Antivoetpuntsdriehoek terug

Hulpstelling 7
De lijn door twee projecties van een punt op de benen van een hoek staat loodrecht op geconjugeerde van de lijn die dat punt met het hoekpunt verbindt.

Bewijs:

isogon2_70 De projecties van P op de benen van hoek S zijn A en B.
Vierhoek SBPA is dan een koordenvierhoek.
Hieruit zien we dat
SPA = ½bg(AS) = SBA
De driehoeken SBQ en SPA hebben dus twee hoeken gelijk.
De derde dus ook, zodat
Q = A = 90º. ¨

Opmerking
Het bewijs voor symmedianen (zie Isogonale verwantschap, Stelling 8) verloopt analoog.
[einde Opmerking]
isogon2_7
Definitie
De antivoetpuntsdriehoek van een punt is de driehoek gevormd door de loodlijnen op de lijnstukken uit dat punt naar de hoekpunten van de driehoek opgericht in die hoekpunten.
Nb.
In de figuur hiernaast is A'B'C' de antivoetpuntsdriehoek van ABC.
ABC is dus de voetpuntsdriehoek van P tov. A'B'C'.
 
Stelling 8
Zijn P en Q isognale punten tov driehoek ABC, dan is de voetpuntsdriehoek van P homothetisch (gelijkstandig) met de antivoetpuntsdriehoek van Q.

 
isogon2_7b Bewijs:
A"B"C" is de antivoetpuntsdriehoek van Q; A'B'C' is de voetpuntsdriehoek van P.
P en Q zijn isogonale punten.

Volgens Hulpstelling 7 staat de drager van B'C loodrecht op de isogonaal geconjugeerde van de lijn AP.
Deze laatste lijn gaat door Q.
De lijnen B'C' en B"C" zijn dus evenwijdig.
Analoog voor de andere overeenkomstige zijden van de betreffende driehoeken.
Waarmee het gestelde bewezen is. ¨

isogon2_7c Voorbeelden
[1] Zie de figuur hiernaast.
De uitcentrum-driehoek UaUbUc van ABC is de antivoetpuntsdriehoek van het incentrum I.
Aangezien I samenvalt met zijn isogonaal geconjugeerde, is de uitcentrum-driehoek homothetisch met de incentrum-driehoek van ABC (de voetpuntsdriehoek van I; Gergonne-driehoek).

[2]
Zie ook de pagina "Raaklijnendriehoek" waarop de hoogtepuntsdriehoek (voetpuntsdriehoek van H) en de raaklijnendriehoek (de raaklijnen in de hoekpunten aan de omcirkel) met elkaar in verband gebracht zijn.
[einde Voorbeelden]
.
Stelling 9
Zijn P en Q twee isogonale punten tov. driehoek ABC, is verder D de oppervlakte van ABC, D1 de oppervlakte van de voetpuntsdriehoek A'B'C' van P en D2 de oppervlakte van de antivoetpuntsdriehoek A"B"C" van Q, dan geldt
   D1 . D2 = D2
(William Gallatly, The Modern Geometry of the Triangle, Hodgson, London, 1910-1st edition, pp.29-30)

Opmerking
Clark Kimberling noemt deze Stelling (zonder bewijs, maar als een "an interesting theorem") op pg. 188 van zijn boek Triangle Centers and Central Triangles (Winnipeg, 1998).
[einde Opmerking]

Klik hier >Animatie< voor een CabriJavapplet die deze stelling illustreert.
Zie de pagina "Voetpuntsdriehoeken" voor een algemene behandeling van de oppervlakte van voetpuntsdriehoeken.

We bewijzen allereerst en algemeen:

Stelling 10
Zijn ABC en DEF twee driehoeken die gelijkstandig zijn, is LMN een driehoek die omgeschreven is om DEF, en ingeschreven in ABC, dan geldt:
het kwadraat van de oppervlakte van LMN is gelijk aan het product van de oppervlaktes van ABC en DEF.

Bewijs:

isogon2_8 Teken het lijnstuk AD.
Wegens DE // AB is dan O(DEN) = O(DEA).
Evenzo geldt: O(DFM) = O(DFA) en O(EFL) = O(EFB)
Dus:
O(LMN) = O(AEBFA), immers DEF is deel van beide.
Nu is O(AEBFA) = O(AEF) + O(BEF)
DP // EQ // BC met P en Q op de hoogtelijn AR uit A.
Zij nu AQ = u, QR = v,  PQ = h' en AR = h = u + v
Zij verder EF = a' en BC = a

Dan is O(AEF) = ½ . u . a' en O(BEF) = ½ . v . a'
Dus: O = O(LMN) = ½ . h . a'
O1 = O(ABC) = ½ . h . a
Zodat O / O1 = a' / a ...... (1)

Wegens de gelijkvormigheid geldt: h' : h = a' : a ...... (2)
En voorts: O2 = O(DEF) = ½ . h' . a'
Zodat O2 / O = h' / h ...... (3)
Uit (1), (2), (3) volgt dan: O / O1 = O2 / O, ofwel: O2 = O1 . O2 ¨

Gevolg (bewijs van Stelling 9)
Stelling 9 volgt direct uit Stelling 10, immers A'B'C' en A"B"C" zijn gelijkstandig, terwijl ABC omgeschreven is om A'B'C' en ingeschreven in A"B"C" (zie Stelling 8).¨

Opmerking
We laten hier achterwege hoe we bij de gegeven configuratie van Stelling 10 de driehoek LMN moeten construeren.
[einde Opmerking]

begin pagina
[isogon2.htm] laatste wijziging op: 04-03-07