Constructie van de som van een meetkundige rij

Doel  |  Applets | Download  ][  Cabri  |  Meetkunde  |  Home


Op deze pagina wordt gebruik gemaakt van CabriJavapplets.  cabrisignal.gif (160 bytes)
Indien de pagina voor de eerste keer geladen wordt, vraagt dat daardoor iets meer tijd dan bij andere pagina's.
N.B. De browser dient over  J a v a - m o g e l ij k h e d e n  te beschikken.

Doel terug

Op deze pagina staan drie CabriJavapplets behorende bij het artikel "Een meetkundige constructie van de som van een meetkundige rij", dat gepubliceerd is in Euclides, jaargang 81, nummer 3 (december 2005); zie ook de paragraaf Download.
In de applets worden de twee constructies die in het bedoelde artikel zijn beschreven, (dynamisch) geïllustreerd.

Applets terug

De twee (min of meer verschillende) constructies:

  1. cabrisignal.gif (160 bytes) Constructie met een scherpe hoek
  2. cabrisignal.gif (160 bytes) Constructie met een stompe hoek

1. Constructie met een scherpe hoek terug

Your browser doesn't support JavaApplets! Toelichting bij het applet
De grootte van de hoek fi (j ) wordt bepaald door de plaats van het punt Fi op het lijnstuk.
Door het punt te verslepen kan de hoek j  tussen 0° en 90° wordt gevarieerd.
j  is de scherpe hoek tussen de lijnen door het punt P0.

S is de 'som van een meetkundige rij':

     S = 1 + cos(j ) + cos²(j ) + cos³(j ) + ...

Daarbij is S = |P0PS|; bewijs: zie artikel.

¤ Bekijk de waarde van S als j  'nadert tot' 0° en tot 90°.

De positie van de punten P0 en P1 kan worden eveneens worden veranderd.
In de constructie is dan steeds |P0P1| = 1.

De lijn die de positie van het punt PS in bovenstaand applet bepaalt op de horizontale lijn door P0, is, uitgaande van de punten P0, P1 en de hoek j, geconstrueerd  met de punten Q1 en Q2.
Q1 ligt op een lijn die eveneens een hoek j  maakt met de horizontale lijn. Hierbij is |P1Q1| = |P1P0|.
Ook Q2 (met P2 loodrecht onder Q1) ligt op een lijn die een hoek j  maakt met de horizontale lijn. Hierbij is |P2Q2| = |P2P1|.
Er geldt: P0P2 = P0P1 + P1P21 + cos(j ).

Your browser doesn't support JavaApplets! Toelichting bij het applet
De grootte van de hoek fi (j ) wordt bepaald door de plaats van het punt Fi op het lijnstuk.
Door het punt te verslepen kan de hoek j  tussen 0° en 90° wordt gevarieerd.
j  is de scherpe hoek tussen de lijnen door het punt P0.
In de figuur zijn opvolgend de punten Pk en Qk (met k = 1, ... , 21) geconstrueerd.

De waarde van k wordt bepaald door de positie van het punt K op het lijnstuk.
k loopt hierdoor van 1 tot en met 21.
Voor de betreffende waarde van k geldt dan:

     Sk = P0Pk = 1 + cos(j ) + cos²(j ) + ...+ cosk-1(j )

De animatie kan worden gestopt door te klikken in het Java-venster.
Het punt K kan dan met de muis worden verplaatst.
Door opnieuw te klikken in het venster wordt de animatie hervat.

2. Constructie met een stompe hoek terug

Your browser doesn't support JavaApplets! Toelichting bij het applet
De grootte van de hoek fi (j ) wordt bepaald door de plaats van het punt Fi op het lijnstuk.
Door het punt te verslepen kan de hoek j  tussen 90° en 180° wordt gevarieerd.
j  is de stompe hoek tussen de lijnen door het punt P0.

S is ook hier de 'som van een meetkundige rij':

     S = 1 + cos(j ) + cos²(j ) + cos³(j ) + ...

Daarbij is S = |P0PS|; bewijs: zie artikel.

¤ Bekijk de waarde van S als j  'nadert tot' 90° en tot 180°.

De positie van de punten P0 en P1 kan worden eveneens worden veranderd.
In de constructie is dan steeds |P0P1| = 1.

De lijn die de positie van het punt PS in bovenstaand applet bepaalt op de horizontale lijn door P0, is, uitgaande van P0, P1 en de hoek j, geconstrueerd  met de punten Q1 en Q2.
Q1 ligt op een lijn die eveneens een hoek j  maakt met de horizontale lijn. Hierbij is |P1Q1| = |P1P0|.
Omdat de cosinus van de hoek j  hier negatief is, wordt nu het punt Q2 geconstrueerd op een halve lijn die een richting heeft die tegengesteld is aan die van de lijn door P1.
Opnieuw is hierbij:  |P2Q2| = |P2P1|.
Er geldt ook nu: P0P2 = P0P1 - P1P2 =  1 - (-cos(j )) = 1 + cos(j ).

Download terug

Cabri-figuren De Cabri-figuren (gemaakt met Cabri Geometry II, vs. 1.1, de 'oude' versie) waarop bovenstaande applets zijn gebaseerd, kunnen via deze webpagina in één bestand worden gedownload.
Klik hier om het downloaden te starten / IE-menu: rechtsklikken (ZIP-bestand, ca. 5 Kb).
Zie voor installatie-instructies het bestand lees_dit.txt dat eveneens is opgenomen in het ZIP-bestand. Het bestand bevat ook twee Cabri-macro's die bij de constructies van de figuren kunnen worden gebruikt.
Artikel Het bedoelde artikel is via deze website beschikbaar in PDF-formaat (ca. 157 Kb); het is alleen te lezen met Adobe Reader®.
Klik hier om het artikel te downloaden / IE-menu: rechtsklikken.

Klik hier >Get Acrobat Reader< om, indien gewenst, Adobe Reader® (voorheen Acrobat Reader, voor PDF-bestanden) te downloaden


begin pagina
[p : index.html / rijconst] laatste wijziging op: 25-11-2005