Tweedegraads vergelijkingen

 

De algemene gedaante van een tweedegraads vergelijking (ook wel vierkantsvergelijking of kwadratische vergelijking genoemd) is:

 

a x 2 +bx+c=0 MathType@MTEF@5@5@+=feaafiart1ev1aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharuqqYLwySbqee0evGueE0jxyaibaieYlNi=xH8yiVC0xbbL8F4rqaqVepeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbbG8FasPYRqj0=yi0dXdbba9pGe9xq=JbbG8A8frFve9Fve9Ff0dmeaabaqaciGacaGaaeqabaWaaqaafaaakeaacaWGHbGaamiEamaaCaaaleqabaGaaGOmaaaakiabgUcaRiaadkgacaWG4bGaey4kaSIaam4yaiabg2da9iaaicdaaaa@40B9@

 

(Hierin is uiteraard a ¹ 0.)

 

Oplossen

Een methode van oplossing van zo'n vergelijking (het berekenen van de onbekende x) is:

 

1) vermenigvuldigen met 4a (opdat de eerste term in ieder geval een kwadraat wordt, en de tweede coëfficiënt deelbaar door 2):

4 a 2 x 2 +4abx+4ac=0 MathType@MTEF@5@5@+=feaafiart1ev1aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharuqqYLwySbqee0evGueE0jxyaibaieYlNi=xH8yiVC0xbbL8F4rqaqVepeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbbG8FasPYRqj0=yi0dXdbba9pGe9xq=JbbG8A8frFve9Fve9Ff0dmeaabaqaciGacaGaaeqabaWaaqaafaaakeaacaaI0aGaamyyamaaCaaaleqabaGaaGOmaaaakiaadIhadaahaaWcbeqaaiaaikdaaaGccqGHRaWkcaaI0aGaamyyaiaadkgacaWG4bGaey4kaSIaaGinaiaadggacaWGJbGaeyypa0JaaGimaaaa@45B2@

2) aanvullen van de eerste twee termen tot een volledig kwadraat:

4 a 2 x 2 +4abx+ b 2 ¯ +4ac= b 2 ¯ MathType@MTEF@5@5@+=feaafiart1ev1aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharuqqYLwySbqee0evGueE0jxyaibaieYlNi=xH8yiVC0xbbL8F4rqaqVepeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbbG8FasPYRqj0=yi0dXdbba9pGe9xq=JbbG8A8frFve9Fve9Ff0dmeaabaqaciGacaGaaeqabaWaaqaafaaakeaacaaI0aGaamyyamaaCaaaleqabaGaaGOmaaaakiaadIhadaahaaWcbeqaaiaaikdaaaGccqGHRaWkcaaI0aGaamyyaiaadkgacaWG4bGaey4kaSYaaWaaaeaacaWGIbWaaWbaaSqabeaacaaIYaaaaaaakiabgUcaRiaaisdacaWGHbGaam4yaiabg2da9maamaaabaGaamOyamaaCaaaleqabaGaaGOmaaaaaaaaaa@49A4@

3) kwadraat afsplitsen:

4 a 2 x 2 +4abx+ b 2 ¯ +4ac= b 2 MathType@MTEF@5@5@+=feaafiart1ev1aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharuqqYLwySbqee0evGueE0jxyaibaieYlNi=xH8yiVC0xbbL8F4rqaqVepeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbbG8FasPYRqj0=yi0dXdbba9pGe9xq=JbbG8A8frFve9Fve9Ff0dmeaabaqaciGacaGaaeqabaWaaqaafaaakeaadaadaaqaaiaaisdacaWGHbWaaWbaaSqabeaacaaIYaaaaOGaamiEamaaCaaaleqabaGaaGOmaaaakiabgUcaRiaaisdacaWGHbGaamOyaiaadIhacqGHRaWkcaWGIbWaaWbaaSqabeaacaaIYaaaaaaakiabgUcaRiaaisdacaWGHbGaam4yaiabg2da9iaadkgadaahaaWcbeqaaiaaikdaaaaaaa@4994@

 

(2ax+b) 2 = b 2 −4ac MathType@MTEF@5@5@+=feaafiart1ev1aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharuqqYLwySbqee0evGueE0jxyaibaieYlNi=xH8yiVC0xbbL8F4rqaqVepeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbbG8FasPYRqj0=yi0dXdbba9pGe9xq=JbbG8A8frFve9Fve9Ff0dmeaabaqaciGacaGaaeqabaWaaqaafaaakeaacaGGOaGaaGOmaiaadggacaWG4bGaey4kaSIaamOyaiaacMcadaahaaWcbeqaaiaaikdaaaGccqGH9aqpcaWLa8UaamOyamaaCaaaleqabaGaaGOmaaaakiabgkHiTiaaisdacaWGHbGaam4yaaaa@4628@

4) worteltrekken (aan beide kanten van het gelijkteken):

2ax+b=± b 2 −4ac MathType@MTEF@5@5@+=feaafiart1ev1aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharuqqYLwySbqee0evGueE0jxyaibaieYlNi=xH8yiVC0xbbL8F4rqaqVepeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbbG8FasPYRqj0=yi0dXdbba9pGe9xq=JbbG8A8frFve9Fve9Ff0dmeaabaqaciGacaGaaeqabaWaaqaafaaakeaacaaIYaGaamyyaiaadIhacqGHRaWkcaWGIbGaeyypa0JaeyySae7aaOaaaeaacaWGIbWaaWbaaSqabeaacaaIYaaaaOGaeyOeI0IaaGinaiaadggacaWGJbaaleqaaaaa@445D@

(denk om het plusmin-teken!)

5) de onbekende variabele x afzonderen en vervolgens delen door 2a:

2ax=−b± b 2 −4ac x= −b± b 2 −4ac 2a MathType@MTEF@5@5@+=feaafiart1ev1aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharuqqYLwySbqee0evGueE0jxyaibaieYlNi=xH8yiVC0xbbL8F4rqaqVepeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbbG8FasPYRqj0=yi0dXdbba9pGe9xq=JbbG8A8frFve9Fve9Ff0dmeaabaqaciGacaGaaeqabaWaaqaafaaakqaabeqaaiaaikdacaWGHbGaamiEaiabg2da9iaaxcW7cqGHsislcaWGIbGaeyySae7aaOaaaeaacaWGIbWaaWbaaSqabeaacaaIYaaaaOGaeyOeI0IaaGinaiaadggacaWGJbaaleqaaaGcbaaabaGaamiEaiabg2da9iaaxcW7daWcaaqaaiabgkHiTiaadkgacqGHXcqSdaGcaaqaaiaadkgadaahaaWcbeqaaiaaikdaaaGccqGHsislcaaI0aGaamyyaiaadogaaSqabaaakeaacaaIYaGaamyyaaaaaaaa@5479@

 

De formule  x= −b± b 2 −4ac 2a MathType@MTEF@5@5@+=feaafiart1ev1aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharuqqYLwySbqee0evGueE0jxyaibaieYlNi=xH8yiVC0xbbL8F4rqaqVepeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbbG8FasPYRqj0=yi0dXdbba9pGe9xq=JbbG8A8frFve9Fve9Ff0dmeaabaqaciGacaGaaeqabaWaaqaafaaakeaacaWG4bGaeyypa0ZaaSaaaeaacqGHsislcaWGIbGaeyySae7aaOaaaeaacaWGIbWaaWbaaSqabeaacaaIYaaaaOGaeyOeI0IaaGinaiaadggacaWGJbaaleqaaaGcbaGaaGOmaiaadggaaaaaaa@4481@ noemen we vaak de abc-formule.

 

Bijzonderheden

1.      In de stappen 1 en 5 wordt gebruik gemaakt van het feit dat a ¹ 0 is.

2.      In stap 4 is het noodzakelijk, dat b 2 −4ac≥0 MathType@MTEF@5@5@+=feaafiart1ev1aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharuqqYLwySbqee0evGueE0jxyaibaieYlNi=xH8yiVC0xbbL8F4rqaqVepeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbbG8FasPYRqj0=yi0dXdbba9pGe9xq=JbbG8A8frFve9Fve9Ff0dmeaabaqaciGacaGaaeqabaWaaqaafaaakeaacaWGIbWaaWbaaSqabeaacaaIYaaaaOGaeyOeI0IaaGinaiaadggacaWGJbGaeyyzImRaaGimaaaa@3F65@  is.
Het getal D= b 2 −4ac MathType@MTEF@5@5@+=feaafiart1ev1aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharuqqYLwySbqee0evGueE0jxyaibaieYlNi=xH8yiVC0xbbL8F4rqaqVepeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbbG8FasPYRqj0=yi0dXdbba9pGe9xq=JbbG8A8frFve9Fve9Ff0dmeaabaqaciGacaGaaeqabaWaaqaafaaakeaacaWGebGaeyypa0JaamOyamaaCaaaleqabaGaaGOmaaaakiabgkHiTiaaisdacaWGHbGaam4yaaaa@3EB5@  wordt de discriminant van de tweedegraads vergelijking genoemd.
Een voorwaarde voor de oplossing van een tweedegraads vergelijking is dus dat D ³ 0.

3.      Is D < 0 dan heeft de tweedegraads vergelijking geen oplossingen.

Is D = 0 dan heeft de vergelijking precies één oplossing (cq. twee gelijke oplossingen), nl.

x= −b 2a MathType@MTEF@5@5@+=feaafiart1ev1aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharuqqYLwySbqee0evGueE0jxyaibaieYlNi=xH8yiVC0xbbL8F4rqaqVepeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbbG8FasPYRqj0=yi0dXdbba9pGe9xq=JbbG8A8frFve9Fve9Ff0dmeaabaqaciGacaGaaeqabaWaaqaafaaakeaacaWG4bGaeyypa0ZaaSaaaeaacqGHsislcaWGIbaabaGaaGOmaiaadggaaaaaaa@3D1C@

Is D > 0 dan heeft de vergelijking twee verschillende oplossingen (wortels), nl.

x 1 = −b+ D 2a ,   x 2 = −b− D 2a MathType@MTEF@5@5@+=feaafiart1ev1aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharuqqYLwySbqee0evGueE0jxyaibaieYlNi=xH8yiVC0xbbL8F4rqaqVepeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbbG8FasPYRqj0=yi0dXdbba9pGe9xq=JbbG8A8frFve9Fve9Ff0dmeaabaqaciGacaGaaeqabaWaaqaafaaakeaacaWG4bWaaSbaaSqaaiaaigdaaeqaaOGaeyypa0ZaaSaaaeaacqGHsislcaWGIbGaey4kaSYaaOaaaeaacaWGebaaleqaaaGcbaGaaGOmaiaadggaaaGaaiilaiaaysW7caaMe8UaamiEamaaBaaaleaacaaIYaaabeaakiabg2da9maalaaabaGaeyOeI0IaamOyaiabgkHiTmaakaaabaGaamiraaWcbeaaaOqaaiaaikdacaWGHbaaaaaa@4BFD@

 

Bijzondere gevallen

De bijzondere gevallen b = 0 en/of c = 0 volgen direct uit de vergelijking (of uit de abc-formule):

 

b = 0

- mits –4ac > 0 (dus a en c hebben tegengesteld teken): x= ± −4ac 2a = ± −4ac 4 a 2 =± −c a MathType@MTEF@5@5@+=feaafiart1ev1aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharuqqYLwySbqee0evGueE0jxyaibaieYlNi=xH8yiVC0xbbL8F4rqaqVepeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbbG8FasPYRqj0=yi0dXdbba9pGe9xq=JbbG8A8frFve9Fve9Ff0dmeaabaqaciGacaGaaeqabaWaaqaafaaakeaacaWG4bGaeyypa0ZaaSaaaeaacqGHXcqSdaGcaaqaaiabgkHiTiaaisdacaWGHbGaam4yaaWcbeaaaOqaaiaaikdacaWGHbaaaiabg2da9maalaaabaGaeyySae7aaOaaaeaacqGHsislcaaI0aGaamyyaiaadogaaSqabaaakeaadaGcaaqaaiaaisdacaWGHbWaaWbaaSqabeaacaaIYaaaaaqabaaaaOGaeyypa0JaeyySae7aaOaaaeaadaWcaaqaaiabgkHiTiaadogaaeaacaWGHbaaaaWcbeaaaaa@4FF6@ - en indien ook c = 0: x = 0 (dubbel)

c = 0

x=0,  x= −b a MathType@MTEF@5@5@+=feaafiart1ev1aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharuqqYLwySbqee0evGueE0jxyaibaieYlNi=xH8yiVC0xbbL8F4rqaqVepeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbbG8FasPYRqj0=yi0dXdbba9pGe9xq=JbbG8A8frFve9Fve9Ff0dmeaabaqaciGacaGaaeqabaWaaqaafaaakeaacaWG4bGaeyypa0JaaGimaiaacYcacaaMe8UaaGjbVlaadIhacqGH9aqpdaWcaaqaaiabgkHiTiaadkgaaeaacaWGHbaaaaaa@42E7@

 

Eigenschappen van de wortels

Uit de het bovenstaande volgt voor de (reële) wortels x₁ en x₂ van een vierkantsvergelijking:

- de som van de wortels  : x 1 + x 2 = −b a MathType@MTEF@5@5@+=feaafiart1ev1aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharuqqYLwySbqee0evGueE0jxyaibaieYlNi=xH8yiVC0xbbL8F4rqaqVepeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbbG8FasPYRqj0=yi0dXdbba9pGe9xq=JbbG8A8frFve9Fve9Ff0dmeaabaqaciGacaGaaeqabaWaaqaafaaakeaacaWG4bWaaSbaaSqaaiaaigdaaeqaaOGaey4kaSIaamiEamaaBaaaleaacaaIYaaabeaakiabg2da9maalaaabaGaeyOeI0IaamOyaaqaaiaadggaaaaaaa@4022@

- het product van de wortels     : x 1 x 2 = c a MathType@MTEF@5@5@+=feaafiart1ev1aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharuqqYLwySbqee0evGueE0jxyaibaieYlNi=xH8yiVC0xbbL8F4rqaqVepeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbbG8FasPYRqj0=yi0dXdbba9pGe9xq=JbbG8A8frFve9Fve9Ff0dmeaabaqaciGacaGaaeqabaWaaqaafaaakeaacaWG4bWaaSbaaSqaaiaaigdaaeqaaOGaamiEamaaBaaaleaacaaIYaaabeaakiabg2da9maalaaabaGaam4yaaqaaiaadggaaaaaaa@3E54@

 

Voorbeelden

Voorbeeld 1. We lossen de vergelijking 3 x 2 −2x−5=0 MathType@MTEF@5@5@+=feaafiart1ev1aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharuqqYLwySbqee0evGueE0jxyaibaieYlNi=xH8yiVC0xbbL8F4rqaqVepeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbbG8FasPYRqj0=yi0dXdbba9pGe9xq=JbbG8A8frFve9Fve9Ff0dmeaabaqaciGacaGaaeqabaWaaqaafaaakeaacaaIZaGaamiEamaaCaaaleqabaGaaGOmaaaakiabgkHiTiaaikdacaWG4bGaeyOeI0IaaGynaiabg2da9iaaicdaaaa@4052@  op via het 'stappenplan'.

1) vermenigvuldigen met 3: 9 x 2 −6x−15=0 MathType@MTEF@5@5@+=feaafiart1ev1aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharuqqYLwySbqee0evGueE0jxyaibaieYlNi=xH8yiVC0xbbL8F4rqaqVepeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbbG8FasPYRqj0=yi0dXdbba9pGe9xq=JbbG8A8frFve9Fve9Ff0dmeaabaqaciGacaGaaeqabaWaaqaafaaakeaacaaI5aGaamiEamaaCaaaleqabaGaaGOmaaaakiabgkHiTiaaiAdacaWG4bGaeyOeI0IaaGymaiaaiwdacqGH9aqpcaaIWaaaaa@4117@

2) aanvullen tot een kwadraat: 9 x 2 −6x+1−15=1 MathType@MTEF@5@5@+=feaafiart1ev1aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharuqqYLwySbqee0evGueE0jxyaibaieYlNi=xH8yiVC0xbbL8F4rqaqVepeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbbG8FasPYRqj0=yi0dXdbba9pGe9xq=JbbG8A8frFve9Fve9Ff0dmeaabaqaciGacaGaaeqabaWaaqaafaaakeaacaaI5aGaamiEamaaCaaaleqabaGaaGOmaaaakiabgkHiTiaaiAdacaWG4bGaey4kaSIaaGymaiabgkHiTiaaigdacaaI1aGaeyypa0JaaGymaaaa@42B5@

3) kwadraat afsplitsen: (3x−1) 2 =16 MathType@MTEF@5@5@+=feaafiart1ev1aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharuqqYLwySbqee0evGueE0jxyaibaieYlNi=xH8yiVC0xbbL8F4rqaqVepeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbbG8FasPYRqj0=yi0dXdbba9pGe9xq=JbbG8A8frFve9Fve9Ff0dmeaabaqaciGacaGaaeqabaWaaqaafaaakeaacaGGOaGaaG4maiaadIhacqGHsislcaaIXaGaaiykamaaCaaaleqabaGaaGOmaaaakiabg2da9iaaigdacaaI2aaaaa@3FC2@

4) worteltrekken: 3x−1=±4 MathType@MTEF@5@5@+=feaafiart1ev1aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharuqqYLwySbqee0evGueE0jxyaibaieYlNi=xH8yiVC0xbbL8F4rqaqVepeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbbG8FasPYRqj0=yi0dXdbba9pGe9xq=JbbG8A8frFve9Fve9Ff0dmeaabaqaciGacaGaaeqabaWaaqaafaaakeaacaaIZaGaamiEaiabgkHiTiaaigdacqGH9aqpcqGHXcqScaaI0aaaaa@3EA7@

5) berekenen van x: 3x=1±4 MathType@MTEF@5@5@+=feaafiart1ev1aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharuqqYLwySbqee0evGueE0jxyaibaieYlNi=xH8yiVC0xbbL8F4rqaqVepeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbbG8FasPYRqj0=yi0dXdbba9pGe9xq=JbbG8A8frFve9Fve9Ff0dmeaabaqaciGacaGaaeqabaWaaqaafaaakeaacaaIZaGaamiEaiabg2da9iaaigdacqGHXcqScaaI0aaaaa@3DBA@

Zodat we als oplossingen vinden: x= 1+4 3 = 5 3 ,  x= 1−4 3 =−1 MathType@MTEF@5@5@+=feaafiart1ev1aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharuqqYLwySbqee0evGueE0jxyaibaieYlNi=xH8yiVC0xbbL8F4rqaqVepeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbbG8FasPYRqj0=yi0dXdbba9pGe9xq=JbbG8A8frFve9Fve9Ff0dmeaabaqaciGacaGaaeqabaWaaqaafaaakeaacaWG4bGaeyypa0ZaaSaaaeaacaaIXaGaey4kaSIaaGinaaqaaiaaiodaaaGaeyypa0ZaaSaaaeaacaaI1aaabaGaaG4maaaacaGGSaGaaGjbVlaaysW7caWG4bGaeyypa0ZaaSaaaeaacaaIXaGaeyOeI0IaaGinaaqaaiaaiodaaaGaeyypa0JaeyOeI0IaaGymaaaa@4AFE@ .

Voorbeeld 2. We lossen de vergelijking 3 x 2 −2x−5=0 MathType@MTEF@5@5@+=feaafiart1ev1aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharuqqYLwySbqee0evGueE0jxyaibaieYlNi=xH8yiVC0xbbL8F4rqaqVepeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbbG8FasPYRqj0=yi0dXdbba9pGe9xq=JbbG8A8frFve9Fve9Ff0dmeaabaqaciGacaGaaeqabaWaaqaafaaakeaacaaIZaGaamiEamaaCaaaleqabaGaaGOmaaaakiabgkHiTiaaikdacaWG4bGaeyOeI0IaaGynaiabg2da9iaaicdaaaa@4052@  op via de abc-formule: a = 3, b = -2, c = -5.

D = 4 + 60 = 64, zodat

x= 2± 64 6 = 2±8 6 ⇒x= 5 3 ,  x=−1 MathType@MTEF@5@5@+=feaafiart1ev1aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharuqqYLwySbqee0evGueE0jxyaibaieYlNi=xH8yiVC0xbbL8F4rqaqVepeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbbG8FasPYRqj0=yi0dXdbba9pGe9xq=JbbG8A8frFve9Fve9Ff0dmeaabaqaciGacaGaaeqabaWaaqaafaaakeaacaWG4bGaeyypa0ZaaSaaaeaacaaIYaGaeyySae7aaOaaaeaacaaI2aGaaGinaaWcbeaaaOqaaiaaiAdaaaGaeyypa0ZaaSaaaeaacaaIYaGaeyySaeRaaGioaaqaaiaaiAdaaaGaeyO0H4TaamiEaiabg2da9maalaaabaGaaGynaaqaaiaaiodaaaGaaiilaiaaysW7caaMe8UaamiEaiabg2da9iabgkHiTiaaigdaaaa@5156@ .

 

Voorbeeld 3. Gegeven de vergelijking 5 x 2 −6x+1=0 MathType@MTEF@5@5@+=feaafiart1ev1aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharuqqYLwySbqee0evGueE0jxyaibaieYlNi=xH8yiVC0xbbL8F4rqaqVepeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbbG8FasPYRqj0=yi0dXdbba9pGe9xq=JbbG8A8frFve9Fve9Ff0dmeaabaqaciGacaGaaeqabaWaaqaafaaakeaacaaI1aGaamiEamaaCaaaleqabaGaaGOmaaaakiabgkHiTiaaiAdacaWG4bGaey4kaSIaaGymaiabg2da9iaaicdaaaa@4049@ . We lossen hier weer op met de abc-formule, waarbij a = 5, b = -6, c = 1.

Hieruit vinden we D= (−6) 2 −4⋅5⋅1=36−20=16 MathType@MTEF@5@5@+=feaafiart1ev1aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharuqqYLwySbqee0evGueE0jxyaibaieYlNi=xH8yiVC0xbbL8F4rqaqVepeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbbG8FasPYRqj0=yi0dXdbba9pGe9xq=JbbG8A8frFve9Fve9Ff0dmeaabaqaciGacaGaaeqabaWaaqaafaaakeaacaWGebGaeyypa0JaaiikaiabgkHiTiaaiAdacaGGPaWaaWbaaSqabeaacaaIYaaaaOGaeyOeI0IaaGinaiabgwSixlaaiwdacqGHflY1caaIXaGaeyypa0JaaG4maiaaiAdacqGHsislcaaIYaGaaGimaiabg2da9iaaigdacaaI2aaaaa@4C7B@ .

Dan is: x= 6± 16 10 = 6±4 10 ⇒x=1,  x= 1 5 MathType@MTEF@5@5@+=feaafiart1ev1aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharuqqYLwySbqee0evGueE0jxyaibaieYlNi=xH8yiVC0xbbL8F4rqaqVepeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbbG8FasPYRqj0=yi0dXdbba9pGe9xq=JbbG8A8frFve9Fve9Ff0dmeaabaqaciGacaGaaeqabaWaaqaafaaakeaacaWG4bGaeyypa0ZaaSaaaeaacaaI2aGaeyySae7aaOaaaeaacaaIXaGaaGOnaaWcbeaaaOqaaiaaigdacaaIWaaaaiabg2da9maalaaabaGaaGOnaiabgglaXkaaisdaaeaacaaIXaGaaGimaaaacqGHshI3caWG4bGaeyypa0JaaGymaiaacYcacaaMe8UaaGjbVlaadIhacqGH9aqpdaWcaaqaaiaaigdaaeaacaaI1aaaaaaa@51D2@ .