Een meetkundige eigenschap van een ellips

 

Stelling
De loodlijnen in F
1 en F2 op de brandpuntsvoerstralen van een punt P van een ellips snijden de raaklijn in P in punten van de richtlijnen.

 

Bewijs:

richtlijnan_filesimage002

We tonen de stelling aan met behulp van de vergelijking van de ellips (analytisch).

We gaan uit van de ellips met vergelijking:

 

x 2 a 2 + y 2 b 2 =1 MathType@MTEF@5@5@+=feaafiart1ev1aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaaeeaaaaaq9bm0BWLhiVzgicXwyJTgapeWaaSaaaeaacaWG4bWaaWbaaSqabeaacaqGYaaaaaGcbaGaamyyamaaCaaaleqabaGaaGOmaaaaaaGccqGHRaWkdaWcaaqaaiaadMhadaahaaWcbeqaaiaaikdaaaaakeaacaWGIbWaaWbaaSqabeaacaaIYaaaaaaakiabg2da9iaaigdaaaa@45E4@

Stel de coördinaten van P zijn: (x0, y0).

De raaklijn t in P aan de ellips heeft dan de vergelijking:

 

t: x 0 x a 2 + y 0 y b 2 =1 MathType@MTEF@5@5@+=feaafiart1ev1aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaaeeaaaaaq9bm0BWLhiVzgicXwyJTgapeGaamiDaiaacQdacaaMe8UaaGjbVlaaysW7daWcaaqaaiaadIhadaWgaaWcbaGaaGimaaqabaGccaWG4baabaGaamyyamaaCaaaleqabaGaaGOmaaaaaaGccqGHRaWkdaWcaaqaaiaadMhadaWgaaWcbaGaaGimaaqabaGccaWG5baabaGaamOyamaaCaaaleqabaGaaGOmaaaaaaGccqGH9aqpcaaIXaaaaa@4E3F@

We bekijken de situatie voor het brandpunt F1 = (c, 0). Een vergelijking van de bij dat punt behorende richtlijn r is:

r:x= a 2 c MathType@MTEF@5@5@+=feaafiart1ev1aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaaeeaaaaaq9bieB1v2vLj2uPrxza8qacaWGYbGaaiOoaiaaysW7caaMe8UaaGjbVlaadIhacqGH9aqpdaWcaaqaaiaadggadaahaaWcbeqaaiaaikdaaaaakeaacaWGJbaaaaaa@4673@

Voor de coördinaten (x,y) MathType@MTEF@5@5@+=feaafiart1ev1aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaaiikaiaadIhacaGGSaGaamyEaiaacMcaaaa@39F2@  van het snijpunt R van t en r hebben we dan

R:{ x= a 2 c x 0 x a 2 + y 0 y b 2 =1 MathType@MTEF@5@5@+=feaafiart1ev1aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaaeeaaaaaq9bieB1v2vLj2uPrxza8qacaWGsbGaaiOoaiaaysW7caaMe8UaaGjbVpaaceaabaqbaeaabiqaaaqaaiaadIhacqGH9aqpdaWcaaqaaiaadggadaahaaWcbeqaaiaaikdaaaaakeaacaWGJbaaaaqaamaalaaabaGaamiEamaaBaaaleaacaaIWaaabeaakiaadIhaaeaacaWGHbWaaWbaaSqabeaacaaIYaaaaaaakiabgUcaRmaalaaabaGaamyEamaaBaaaleaacaaIWaaabeaakiaadMhaaeaacaWGIbWaaWbaaSqabeaacaaIYaaaaaaakiabg2da9iaaigdaaaaacaGL7baaaaa@53C4@

Eliminatie van x hieruit levert:

x 0 a 2 c a 2 + y 0 y b 2 =1 x 0 c + y 0 b 2 y=1y= b 2 y 0 (1 x 0 c ) MathType@MTEF@5@5@+=feaafiart1ev1aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=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@76D9@

De coördinaten van R zijn dan:

R=( a 2 c ; b 2 y 0 (1 x 0 c ) ) MathType@MTEF@5@5@+=feaafiart1ev1aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaaeeaaaaaq9bieB1v2vLj2uPrxza8qacaWGsbGaeyypa0ZaaeWaaeaadaWcaaqaaiaadggadaahaaWcbeqaaiaaikdaaaaakeaacaWGJbaaaiaacUdadaWcaaqaaiaadkgadaahaaWcbeqaaiaaikdaaaaakeaacaWG5bWaaSbaaSqaaiaaicdaaeqaaaaakiaacIcacaaIXaGaeyOeI0YaaSaaaeaacaWG4bWaaSbaaSqaaiaaicdaaeqaaaGcbaGaam4yaaaacaGGPaaacaGLOaGaayzkaaaaaa@4BF7@

We hebben nu als richtingscoëfficiënten rc(F1R) en rc(F1P) van de lijnen F1R en F1P opvolgend:

rc( F 1 R)= b 2 y 0 (1 x 0 c )0 a 2 c c = b 2 y 0 (c x 0 ) a 2 c 2 = b 2 (c x 0 ) b 2 y 0 = c x 0 y 0 MathType@MTEF@5@5@+=feaafiart1ev1aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaaeeaaaaaq9bieB1v2vLj2uPrxza8qacaWGYbGaam4yaiaacIcacaWGgbWaaSbaaSqaaiaaigdaaeqaaOGaamOuaiaacMcacqGH9aqpdaWcaaqaamaalaaabaGaamOyamaaCaaaleqabaGaaGOmaaaaaOqaaiaadMhadaWgaaWcbaGaaGimaaqabaaaaOGaaiikaiaaigdacqGHsisldaWcaaqaaiaadIhadaWgaaWcbaGaaGimaaqabaaakeaacaWGJbaaaiaacMcacqGHsislcaaIWaaabaWaaSaaaeaacaWGHbWaaWbaaSqabeaacaaIYaaaaaGcbaGaam4yaaaacqGHsislcaWGJbaaaiabg2da9maalaaabaWaaSaaaeaacaWGIbWaaWbaaSqabeaacaaIYaaaaaGcbaGaamyEamaaBaaaleaacaaIWaaabeaaaaGccaGGOaGaam4yaiabgkHiTiaadIhadaWgaaWcbaGaaGimaaqabaGccaGGPaaabaGaamyyamaaCaaaleqabaGaaGOmaaaakiabgkHiTiaadogadaahaaWcbeqaaiaaikdaaaaaaOGaeyypa0ZaaSaaaeaacaWGIbWaaWbaaSqabeaacaaIYaaaaOGaaiikaiaadogacqGHsislcaWG4bWaaSbaaSqaaiaaicdaaeqaaOGaaiykaaqaaiaadkgadaahaaWcbeqaaiaaikdaaaGccaWG5bWaaSbaaSqaaiaaicdaaeqaaaaakiabg2da9maalaaabaGaam4yaiabgkHiTiaadIhadaWgaaWcbaGaaGimaaqabaaakeaacaWG5bWaaSbaaSqaaiaaicdaaeqaaaaaaaa@7367@

rc( F 1 P)= y 0 0 x 0 c = y 0 x 0 c MathType@MTEF@5@5@+=feaafiart1ev1aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaaeeaaaaaq9bieB1v2vLj2uPrxza8qacaWGYbGaam4yaiaacIcacaWGgbWaaSbaaSqaaiaaigdaaeqaaOGaamiuaiaacMcacqGH9aqpdaWcaaqaaiaadMhadaWgaaWcbaGaaGimaaqabaGccqGHsislcaaIWaaabaGaamiEamaaBaaaleaacaaIWaaabeaakiabgkHiTiaadogaaaGaeyypa0ZaaSaaaeaacaWG5bWaaSbaaSqaaiaaicdaaeqaaaGcbaGaamiEamaaBaaaleaacaaIWaaabeaakiabgkHiTiaadogaaaaaaa@503F@

Uit beide laatste uitdrukkingen volgt nu eenvoudig:

rc( F 1 R)rc( F 1 P)=1 MathType@MTEF@5@5@+=feaafiart1ev1aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaaeeaaaaaq9bieB1v2vLj2uPrxza8qacaWGYbGaam4yaiaacIcacaWGgbWaaSbaaSqaaiaaigdaaeqaaOGaamOuaiaacMcacqGHflY1caWGYbGaam4yaiaacIcacaWGgbWaaSbaaSqaaiaaigdaaeqaaOGaamiuaiaacMcacqGH9aqpcqGHsislcaaIXaaaaa@4BCF@

 

waaruit blijkt, dat de lijnen F1R en F1P loodrecht op elkaar staan.


                     MathPlayer
Om de wiskundige formules op deze pagina goed weer te geven moet Microsoft's Internet Explorer (vs. 5.5+) worden gebruikt, samen met Design Science's MathPlayer software.
Klik hier > Download MathPlayer < om MathPlayer te installeren.
                    

[richtlijnan.htm] laatste wijziging op: 30-11-2003