Lemma bij probleem van Lemoine

[ Probleem van Lemoine ]

[in bewerking]

Stelling
ALS
   p,q,r zijn in het punt P concurrerende lijnen door de hoekpunten A, B, C van driehoek ABC,
   PA is de lijnenbundel door het punt A.
   TA is de projectieve afbeelding van PA op zichzelf, waarbij
   - TA(AB) = AC en TA(AC) = AB
   - TA(p) = p
   PB , PC en TB ,TC worden analoog gedefinieerd aan PA , TA.
   Voor ieder lijn a in PA: a' = TA(a); voor iedere b in PB en iedere c in PC: b' = TB(b) en c' = TC(c).
   Verder: C' = a' Ç b', B' = c' Ç a', A' = b' Ç c'
DAN
   AA', BB', CC' zijn concurrent.
.
figuur 1 lem_isogon1 Bewijs:
Ter vereenvoudiging van het bewijs gebruiken we opnieuw een projectieve afbeelding f die het vlak afbeeldt op een vlak dat voorzien is van een coördinatenstelsel Oxy.
We kiezen hierbij:
f(C) = O, f(A) = oneigenlijk punt van de y-as, f(B) = oneigenlijk punt van de x-as, f(P) = (1,1).

De lijnen p, q, r worden opvolgend afgebeeld op de lijnen x = 1, y = 1 en x = y.
Dan is

    PA is de verzameling van alle verticale lijnen,
    PB is de verzameling van alle horizontale lijnen,
    PC is verzameling van alle lijnen door O.

figuur 2 lem_isogon2
complexe vlak: z = x + i y		 De afbeelding TA laat de verticale richting invariant en is daardoor een 1-dimensionale projectieve afbeelding.
Dus is het een Möbius-transformatie, waarvoor de algemene formule luidt
   M(z) = (az + b)/(cz + d)
Afbeeldingen M die z = 0 afbeelden op het punt z = ¥, worden gegeven door
   M(z) = (az + b) / z
(d = 0), waarbij a en b gedeeld zijn door c.
Indien nu z = 1 (de lijn p) invariant is, vinden we (a = 1, b = 0)
  TA(z) = 1 / z

Dus TA beeldt z = a af  op z = 1/a.

Ter vereenvoudiging van de notatie schrijven we hieronder
   a in plaats van x = a (verticale lijnen)
   b in plaats van y = b (horizontale lijnen)
   c in plaats van  y = cx (lijnen door de oorsprong)

Met TB en TC hebben we dan

    a' = TA(a) = 1/a, b' = TB(b) = 1/b, and c' = TC(c)

Verder is

    C' = a' Ç b = (1/a ; b)
    B' = c' Ç a = (a ; a/c)
    A' = b' Ç c = (1/(bc) ; 1/b)

Dus
   AA' heeft als vergelijking x = 1/(bc)
   BB' heeft als vergelijking y = a/c
   CC' heeft als vergelijking y = (ab)x
Dan: AA' Ç BB' = ( 1/(bc), a/c ) en dit punt ligt op de lijn CC'. ¨

Terug Terug begin pagina Top

[lem_isogon.htm] laatste wijziging op: 31-08-00