Projectieve kegelsneden

Vooraf | Stellingen  ][  Projectieve meetkunde | Meetkunde


1. Vooraf terug
Bekendheid wordt voorondersteld met dubbelverhoudingen e.d.

2. Stellingen terug

Definitie
Twee lijnenwaaiers zijn projectief als er een 1-1 relatie bestaat tussen de lijnen van die waaiers.

Een methode om een in de definitie bedoelde 1-1 relatie te verkrijgen is via een perspectiviteit: tussen twee lijnen, als in onderstaand voorbeeld.
Via de perspectiviteit (L), in de linker figuur, is er een 1-1 relatie tussen de punten A van de lijn a en de punten B van de lijn b.
In de rechter figuur is er via de punten reeksen Ai en Bi een 1-1 relatie tussen de lijnen uit de waaier met top P en de lijnen uit waaier met top Q.
De waaiers (P) en (Q) zijn daarom projectief.

conics1           conics1b
conics1c
Definitie
Een kegelsnede is de verzameling van de snijpunten van twee projectieve lijnenwaaiers.

In nevenstaande figuur is X = PAx /\ QBx
waarbij Ax, Bx met L collineair zijn.
De verzameling van de punten X is dan, volgens de definitie, een kegelsnede.

Stelling 1
De kegelsnede gaat door de toppen van de 'voortbrengende' waa7iers.

Bewijs:

De lijn PQ is een lijn uit waaier (P). Deze lijn snijdt de overeenkomstie lijn uit waaier (Q) in Q. De kegelsnede gaat dus door Q.
De lijn QP is een lijn uit waaier (Q). Deze snijdt de overeenkomstige lijn uit waaier (P) in P. De kegelsnede gaat ook door P.

Opmerking
De kegelsnede gaat eveneens door het snijpunt van (de beide punten reeksen op) a en b.
Immers, daar geldt A0 = B0, zodat PA0 en QA0 elkaar snijden in het snijpunt van a en b.
[einde Opmerking]

Stelling 2
Een lijn snijdt een kegelsnede in twee punten.

Bewijs:

conics2 Op de snijlijn m liggen twee projectieve puntenreeksen (A, ... en B, ...). Deze puntenreeksen hebben twee dubbelpunten. Deze dubbelpunten zijn dan de snijpunten van de lijn m met de kegelsnede.

Opmerking
Vallen de snijpunten P en Q samen, dan heet de lijn m raaklijn aan de kegelsnede.
[einde Opmerking]

Hulpstelling 3
Zijn E, F en G dubbelpunten van twee puntreeksen op een lijn, dan is elk punt van die lijn dubbelpunt.

Bewijs:
Stel X en X' zijn twee toegevoegde punten.
Dan is (EFGX) = (E'F'G'X')= (EFGX'), zodat X = X'.

Ontaarde kegelsnede - Als de lijn AB van (A) toegevoegd is aan de lijn BA van (B), hebben we te maken met een bijzondere kegelsnede.
Zijn nu AP, BP en AQ, BQ twee andere toegevoegde lijnen, en zij R het snijpunt van PQ met AB.
De waaiers snijden op de lijn PQ een tweetal puntenreeksen in waarbij P, Q, R dubbelpunten zijn.
Elk punt van PQ is daardoor dubbelpunt (zie Hulpstelling 3). De lijn PQ ligt dus geheel op de kegelsnede. Ook als we een punt van AB verbinden met A en B, krijgen we een stel toegevoegde lijnen.
De kegelsnede bestaat dan dus uit de lijnen AB en PQ.
Waarmee bewezen is

Stelling 4
Als de lijn door de toppen van twee lijnenwaaiers aan elkaar toegevoegd zijn, bestaat de door die waaiers gegenereerde kegelsnede uit twee rechte lijnen.

 

Definitie
Een kromme die door een willkeurige lijn gesneden wordt in twee punten, heet kromme van de orde 2.

 

Stelling 5
5.1.
Een kegelsnede is een kromme van de orde 2.
5.2. Elke kromme van de orde 2 is een kegelsnede.

 

Stelling 6
Vijf punten bepalen een kegelsnede.

Bewijs:
Zijn A, B, C, D, E vijf punten, waarvan er geen vier op dezelfde lijn liggen. We beschouwen nu de waaiers met toppen A en B.
We kiezen nu AC, AD, AE en BC, BD, BE als corresponderen lijnen in de beide waaiers. De 1-1 relatie is hiermee vastgelegd.
Waarmee tevens een kegelsnede door de gegeven vijf punten is bepaald.


begin pagina
[conics.htm] laatste wijziging op: 22-11-2008 (04-08-2003)