De Stelling van Euler voor veelvlakken

We spreken af:

H = aantal hoekpunten van een CONVEX veelvlak
R = aantal ribben
Z = aantal zijvlakken

Stelling 1

De som S van de hoeken van alle zijvlakken van een convex veelvlak is gelijk aan (R - Z) · 360°.

Bewijs. Stel het aantal ribben dat ieder zijvlak begrenst, is a, b, c, ...
Dan geldt voor S:
S = ( (a - 2) + (b - 2) + (c - 2) + ...) · 180° = (a + b + c + ...) · 180° - 2Z · 180°
We delen immers elk zijvlak op in (k - 2) driehoeken (waarbij k = a, b, c. ...).

Omdat steeds twee zijvlakken een ribbe gemeenschappelijk hebben, is a + b + c + ... = 2R.
Zodat:
S = 2R · 180° - 2Z · 180° = (R - Z) · 360° ¨

Stelling 2

De som S van de hoeken van alle zijvlakken van een convex veelvlak is OOK gelijk aan (H - 2) · 360°.

Bewijs. We projecteren het veelvlak loodrecht op een vlak dat niet loodrechtrecht staat op een der ribben en evenmin op een der zijvlakken.

In de figuur hiernaast is op deze manier een convex 6-vlak ABCD.EFGH geprojecteerd op een vlak.
Dit geeft de veelhoek B'C'D'H'E'F', met daarbinnen de punten A' en G'.

Bij een dergelijke projectie verandert het aantal hoekpunten H van het veelvlak niet.
Ook is de som van de hoeken in ieder zijvlak ongewijzigd, evenals het aantal ribben.

Omdat het veelvlak convex is, is de veelhoek daarmee tweemaal met geprojecteerde zijvlakken overdekt.

Stel nu dat het aantal hoekpunten dat binnen de veelhoek ligt gelijk aan p.

Voor de som S van alle geprojecteerde hoeken hebben we dan:
S = 2 · (H - p - 2) · 180° + p · 360° = (H - 2) · 360° ¨

Nb. De waarde p · 360° in bovenstaand bewijs is het totaal van de volle hoeken bij de p binnen de veelhoek gelegen punten.

Stelling 3

Voor een convex veelvlak geldt:
H + Z = R + 2
(Stelling van Euler; naar Leonhard Euler, 1707-1783, Zwitserland)

Bewijs. Uit Stelling 1 en Stelling 2 volgt direct voor de som S van de hoeken van de zijvlakken:
R - Z = H - 2, zodat inderdaad:
H + Z = R + 2 ¨

Opmerking. Het blijkt dat Stelling 3 niet alleen voor convexe veelvlakken geldt; voor sommige niet-convexe veelvlakken geldt ook H + Z = R + 2.
Veelvlakken waarvoor Stelling 3 geldt, noemen we wel Eulerse veelvlakken.

Regelmatige veelvlakken
Definitie. Een regelmatig veelvlak (ook wel: Platonisch lichaam) is een veelvlak dat begrensd wordt door regelmatige veelhoeken, waarvan er in ieder hoekpunt evenveel samenkomen.

Gevolg
Omdat de som van de hoeken in een hoekpunt van een veelvlak niet groter kan zijn dan 360°, zijn alleen gelijkzijdige driehoeken, vierkanten en regelmatige 5-hoeken als zijvlak mogelijk.

Stelling 4

Er zijn vijf Platonische lichamen.

Bewijs. We bewijzen Stelling 4 op basis van de Stelling van Euler (Stelling 3).

Driehoeken als zijvlak. Is het aantal zijvlakken gelijk aan Z, dan geldt voor het aantal R van de ribben: R = (Z · 3) / 2 = 1½ Z.
Volgens de Stelling van Euler hebben we dan:
H + Z = 1½ Z + 2
of wel: 2 H = Z + 4
(1) Komen er 3 driehoeken in een hoekpunt samen, dan is H = Z, zodat Z = H = 4 en R = 6. Dit geeft een regelmatig viervlak (tetraëder).
(2) Komen er 4 driehoeken samen in een joekpunt, dan is H = (3/4) Z, waaruit volgt dat Z = 8, H = 6, R = 12. Dit geeft een regelmatig achtvlak (octaëder).
(3) Komen er 5 driehoeken samen, dan is H = (3/5) Z, waaruit volgt dat Z = 20, H = 12, R = 30. Dit geeft een regelmatig twintigvlak (icosaëder).

euler2

Vierkanten als zijvlak. De Stelling van Euler gaat hiermee over in: Z + H = 2Z + 2 of wel H = Z + 2. Er kunnen nu slechts 3 zijvlakken in hetzelfde hoekpunt samenkomen.
(4) Dan is: H = (4/3) Z, zodat Z = 6, H = 8 en R = 12. Dit geeft een regelmatig zesvlak (hexaëder of kubus).

euler3

Vijfhoeken als zijvlak. De Stelling van Euler luidt hierbij: Z + H = 2½ Z + 2, of wel H = 1½ Z + 2. Er kunnen ook nu slechts 3 zijvlakken in hetzxelfde heokpunt samenkomen.
(5) Dan is: H = (5/3) Z, zodat Z = 12, H =20 en R = 30. Dit geeft een regelmatig twaalfvlak (dodecaëder). ¨

Opmerkingen en Cabri3D applets
[1] De middens van de zijvlakken van een regelmatig 20-vlak zijn de hoekpunten van een regelmatig 12-vlak.
[2] De middens van de zijvlakken van een regelmatig 12-vlak zijn de hoekpunten van een regelmatig 20-vlak.

[1]	[2]

Klik hier >< voor een Cabri3D applet bij [1] (opent in een Nieuw Venster; Cabri3D plug-in noodzakelijk)
Klik hier >< voor een Cabri3D applet bij [2] (opent in een Nieuw Venster; Cabri3D plug-in noodzakelijk)

[3] De middens van de zijvlakken van een regelmatig 6-vlak (kubus) zijn de hoekpunten van een regelmatig 8-vlak.
[4] De middens van de zijvlakken van een regelmatig 8-vlak zijn de hoekpunten van een regelmatig 6-vlak (kubus).

[3]	[4]

Klik hier >< voor een Cabri3D applet bij [3] (opent in een Nieuw Venster; Cabri3D plug-in noodzakelijk)
Klik hier >< voor een Cabri3D applet bij [4] (opent in een Nieuw Venster; Cabri3D plug-in noodzakelijk)

Klik hier >< om bovenstaande vier applets in één bestand te downloaden (.CG3 bestanden, geZIPt) / Klik rechts voor het Menu in IE.

¤ Zie eventueel ook de paragraaf "De kubus en andere veelvlakken" op de pagina "Kubus".

[p: eulerveelvlak.htm] laatste wijziging op: 29-09-2008 (24-09-09)