Prismo´de, obelisk, anti-prisma

Definities | Inhoud prismo´de  ][  Prisma | Inhoud | Overzicht stereo | Cabri 3D


1. Definities prismo´de, obelisk, anti-prisma terug

Definities
(Zie figuur 1a) Een convex veelvlak waarvan de hoekpunten in twee evenwijdige vlakken liggen, heet prismo´de (ook wel prismato´de; Eng. prismatoid, prismoid)
De zijvlakken in de evenwijdige vlakken noemt men grond- en bovenvlak; de andere zijvlakken heten opstaande zijvlakken
De afstand tussen de evenwijdige vlakken heet de hoogte van de prismo´de.
.
figuur 1a       figuur 1b

prismoide

obelisk

In deze prismo´de is het zogenoemde middenvlak A'G'B'... aangebracht.
Dit is het vlak door de middens van de opstaande ribben.
Deze figuur toont een obelisk (zijvlakken zijn trapezia).
Klik hier >Cabri 3D applet< voor een Cabri 3D applet van een prismo´de (in een NieuwVenster, automatisch draaiend). Klik hier >Cabri 3D applet< voor een Cabri 3D applet van een obelisk (in een NieuwVenster, automatisch draaiend).
.
Definitie
(Zie figuur 1b) Een prismo´de waarvan alle opstaande zijvlakken trapezia (of parallellogrammen) zijn, heet obelisk.

En volvolgens nog een tweede bijzondere prismo´de.

Definitie
(Zie figuur 1c) Een anti-prisma is een prismo´de waarvan alle opstaande zijvlakken driehoeken zijn.
Zijn grond- en bovenvlak van een anti-prisma regelmatige veelhoeken en ligt het middelpunt van het bovenvlak recht boven het middelpunt van het grondvlak, dan spreken we van een regelmatig anti-prisma (zie figuur 1e).

Wanneer wordt uitgegaan van een 'gewoon' prisma, waarbij dan het bovenvlak "iets" gedraaid wordt tov. het ondervlak dan krijgen we (uiteraard) ook een anti-prisma (zie figuur 1d). In de literatuur wordt deze vorm vaak (en onterecht) als definitie gegeven voor een anti-prisma.

figuur 1c      figuur 1d      figuur 1e
prismoide4 prismoide5 prismoide6

Klik hier >Cabri 3D applet< voor een Cabri 3D applet van figuur 1c (in een NieuwVenster; automatisch draaiend).
Klik hier >Cabri 3D applet< voor een Cabri 3D applet van figuur 1d (in een NieuwVenster; automatisch draaiend).
Klik hier >Cabri 3D applet< voor een Cabri 3D applet van figuur 1e (in een NieuwVenster; automatisch draaiend).

2. Inhoud prismo´de terug

prismoide2 We kiezen in het middenvlak, het vlak dat gaat door de middens van de opstaande ribben, een willekeurig punt Z.
Er ontstaan dan in ieder geval twee piramides: Z.ABCDEF en Z.GHKL.

Zijn nu G, B en M opvolgend de oppervlaktes van het grondvlak, het bovenvlak en het middenvlak.
De inhouden van die piramides zijn opvolgend IG = 1/6Gh en IB = 1/6Bh, waarbij h de hoogte is van de prismo´de.

De rest van de prismo´de bestaat uit drie of vierzijdige piramides met top Z en met als grondvlak een van de opstaande zijvlakken van de prismo´de.
We bekijken nu Z.BCH.
Omdat Opp(BCH) = 4.Opp(B'C'H), geldt ook
     Inh(Z.BCH) = 4 . Inh(Z.B'C'H)

Maar Inh(Z.B'C'H) = Inh(H.ZB'C'), en dit laatste viervlak heeft 1/2h als hoogte, zodat
     Inh(Z.BCH) = 4 . 1/3 Opp(ZB'C') . 1/2h
Sommatie over alle deeldriehoeken ZB'C', ZC'H', ... van het middenvlak geeft dan voor de inhoud IZ van de resterende piramides: IZ = 4/6 Mh.
De inhoud van de prismo´de is dan

     I = IG + IB + IZ = 1/6 h (G + B + 4M)

Nb. Bovenstaande inhoudsformule geldt dus eveneens voor de obelisk en anti-prisma.

Gevolg
Omdat het prisma, de piramide en de afgeknotte piramide bijzondere prismo´den zijn (bij het prisma is B = G = M; bij de piramide is B = 0 en M = 1/4G), zullen de inhoudsformules van die lichamen uit die voor de prismo´de moeten volgen:
prisma: I = 1/6 h (G + G + 4G) = Gh
piramide: I = 1/6 h (G + 0 + G) = 1/3Gh

prismoide3 Bij de afgeknotte piramide moeten we eerst nog een uitdrukking vinden voor M.

Hiernaast is een 'as'-doorsnede getekend van een afgeknotte piramide. T is de top van de niet-afgeknotte piramide (met hoogte h').
De punten B, M, G liggen opvolgend in het bovenvlak, middenvlak en grondvlak.
Nu geldt:

prismoide_f1 waaruit volgt:

 prismoide_f2

Dus:
afgeknotte piramide: I = 1/6 h (B + G + B+ G + 2Í(BG) ) = 1/h (B + G + Í(BG) )

Zie ook de pagina "Inhoud van viervlak en piramide (en meer)".


begin pagina
[p : prismoide.htm] laatste wijziging op: 14-09-2005