Nog meer over de inhoud van een viervlak

Overzicht  ][  Inhoud van viervlak en priamide (en meer) | Overzicht stereo | Cabri 3D


Overzicht terug


Stelling 1 terug
De inhouden van twee viervlakken die een drievlakshoek gemeenschappelijk hebben, verhouden zich als de producten van de ribben van het viervlak die gelegen zijn op de ribben van die drievlakshoek.

Bewijs:

inhviervl1 Zonder de algemeenheid geweld aan te doen denken we de beide viervl;akken TABCD en TA'B'C' geplaatst als in de figuur hiernaast.
We projecteren A en A' op het vlak TB'C'.
Nu is (met a = hoek BTC)
Inh(TABCD) : Inh(TA'B'C')  =  Inh(A.TBC) : Inh(A'.TB'C')
 =  1/3AH  Opp(TBC)  :  1/3A'H'  Opp(TB'C')
 =  AH  TB  TC  sin(a)  :  A'H'  TB'  TC'  sin(a)
 =  (AH  TB  TC)  :  (A'H'  TB'  TC')

Maar: AH : A'H' = TA : TA', dus:

:Inh(TABCD) : Inh(TA'B'C") = (TA  TB  TC)  :  (TA'  TB'  TC')

.
Stelling 2 terug
Een viervlak wordt door elk vlak dat door de middens van twee overstaande ribben gaat, verdeeld in twee delen met gelijke inhoud.

Bewijs:

inhviervl2 P en R zijn de middens van de ribben BC en AD.
Nu is:
     Inh(R.ABC) = 1/2 Inh(D.ABC)
omdat de hoogte van het eerste viervlak de helft is van die van het tweede, terwijl beide hetzelfde grondvlak hebben.
Verder hebben we:
     Inh(ASRQCP) = Inh(R.ABC) + Inh(CPQR) - Inh(BPRS)
Wanneer we nu kunnen bewijzen dat Inh(CPQR) = inh(BPRS) zijn we klaar.

Het lijnstuk PR ligt in het zogenoemde middenvlak (*) van de kruisende lijnen BC en AD.
De lijn PR deelt daardoor het lijnstuk QS middendoor, zodat Opp(PQR) = Opp(PRS).
Uit BP = PC volgt dan verder dat de punten B en C gelijke afstanden hebben tot het vlak PQRS.
De viervlakken CPQR en BPRS hebben dus gelijke grondvlakken en gelijke hoogtes, en dus ook gelijke inhouden.

____________
(*)
Enkele eigenschappen van het middenvlak worden behandeld in het artikel "Het middenvlak (bij een viervlak)". Dit artikel is opgenomen in een PDF-bestand.
Klik hier om dat bestand te downloaden (PDF-formaat; ca. 330 Kb).

up
[p : inhviervl.htm] laatste wijziging op: 03-10-2005